Пример решения задачи в случае увеличения камней в куче двумя способами «+1» и «*2»
Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в кучу один камень или увеличить количество камней в куче в два раза. Например, имея кучу из 15 камней, за один ход можно получить кучу из 16 или 30 камней. У каждого игрока, чтобы делать ходы, есть неограниченное количество камней. Игра завершается в тот момент, когда количество камней в куче становится не менее 22. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, то есть первым получивший кучу, в которой будет 22 или больше камней.
В начальный момент в куче было S камней, 1 <= S <=21. Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника. Описать стратегию игрока – значит описать, какой ход он должен сделать в любой ситуации, которая ему может встретиться при различной игре противника.
Выполните следующие задания. Во всех случаях обосновывайте свой ответ.
1. а) Укажите все такие значения числа S, при которых Петя может выиграть в один ход. Обоснуйте, что найдены все нужные значения S, и укажите выигрывающий ход для каждого указанного значения S.
б) Укажите такое значение S, при котором Петя не может выиграть за один ход, но при любом ходе Пети Ваня может выиграть своим первым ходом. Опишите выигрышную стратегию Вани.
2. Укажите два таких значения S, при которых у Пети есть выигрышная стратегия, причём
– Петя не может выиграть за один ход, и
– Петя может выиграть своим вторым ходом, независимо от того, как будет ходить Ваня.
Для каждого указанного значения S опишите выигрышную стратегию Пети.
3. Укажите значение S, при котором:
– у Вани есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть первым или вторым ходом при любой игре Пети, и
– у Вани нет стратегии, которая позволит ему гарантированно выиграть первым ходом.
Для указанного значения S опишите выигрышную стратегию Вани.
Постройте дерево всех партий, возможных при этой выигрышной стратегии Вани (в виде рисунка или таблицы). На рёбрах дерева указывайте, кто делает ход, в узлах – количество камней в куче.
Вопрос 1а.
Обратным ходом от «победы» определяем границы начальной выигрышной позиции: 22 – 1 = 21 и 22/2 = 11
Для любого числа, лежащего в границах данного диапазона справедлива следующая запись max0*2>= 22 или max0*2 > 21 (обводим данный диапазон сверху и обозначаем его как max0, что будет означать начальную выигрышную позицию или выигрыш за один ход)
1а) Петя выигрывает первым ходом при 11 <= S <= 21. Для этого достаточно число камней в куче увеличить вдвое и их всегда получится более 21.
Вопрос 1б. Для ответа на этот вопрос нужно найти позиции, условно назовем их min0, из которых все возможные ходы ведут в начальную выигрышную позицию, отмеченную нами как max0. Обратным ходом определяем «подозреваемые» позиции на min0:
11/2=? нацело не делится, следовательно, такой позиции нет. Остается только S = 11-1=10
(но пока это только предполагаемый min0, поэтому рисуем «яму» двумя чертами, что будет означать — не забыть о существовании 2х возможных ходов, которые нужно будет обязательно проверить!)
Проверяем предположение для S = 10 на min0. Эта проверка и послужит ответом на вопрос 1б
При S = 10 у Пети есть 2 хода, которыми он не может выиграть за один ход, но при любом ходе Пети Ваня может выиграть своим первым ходом:
Любой ход Пети «10+1=11» или 10*2=20 ведут в начальную выигрышную позицию Ваню, который, удвоив количество камней в куче, получает 22 или 40, что больше 21 и победа достанется Ване
П
оэтому позицию S = 10 обводим снизу сплошной чертой (рисуем яму) — min0 (начальный проигрыш или проигрыш за 1-й ход):
Ответ на вопрос 1б. может быть таким: При S = 10 у Пети есть 2 хода, которыми он не может выиграть, но при любом ходе Пети Ваня может выиграть своим первым ходом. Любой ход Пети «10+1=11» или «10*2=20» ведет в начальную выигрышную позицию Ваню, который, удвоив количество камней в куче, получает 22 или 40, что больше 21 и Ваня выигрывает
Вопрос 2. Для того чтобы Петя гарантированно выиграл вторым ходом, т.е. оказался в позиции max0, после хода Вани, ему необходимо своим первым ходом «посадить Ваню в яму». Понятно, что таких позиций может быть две, значения которых находим обратным ходом и обязательно проверяем…
Первая подозрительная позиция «10-1=9»
S=9. Проверим данную позицию на гарантированность победы!
Если бы Петя играл в поддавки, он бы сделал ход «9*2 = 18» , но ему нужно выиграть, поэтому данный ход отбрасываем. Остается только «9+1 = 10», и Ваня оказывается в «яме» — что приводит Петю к выигрышу вторым ходом вне зависимости от того, как сходит Ваня!
Вторая «подозрительная позиция» 10/2 = 5
S=5. Проверим данную позицию на гарантированность победы! Ход «5+1=6» , затягивает игру, поэтому его не рассматриваем (отбрасываем)
Остается только «5*2=10», и Ваня оказывается в «яме» — что приводит Петю к выигрышу вторым ходом вне зависимости от того, как сходит Ваня!
Ответ 2 может быть таким:
При S = 5 и 9 Петя не может выиграть первым ходом, но он может выиграть вторым ходом и для этого ему достаточно из позиции S = 5 сделать ход «5*2 = 10», тем самым отправить Ваню в начальную проигрышную позицию или из позиции S = 9 отправить его в ту же позицию ходом «9+1=10»
Вопрос 3. Ваня должен выиграть, следовательно, он должен оказаться на вершине max0, это означает, что Петя непременно должен оказаться в min0, куда его «посадит» Ваня из max1, а нам остается найти такие позиции, из которых бы Петя однозначно попадал в max1
Находим «подозрительные» позиции, которые могут привести Петю в max1 с помощью того же самого обратного хода:
9-1=8
9/2=? 9 на 2 не делится — отпадает
5-1=4
5/2=? 5 на 2 не делится — отпадает
Находим, что таких «подозрительных» позиций всего две, но их еще нужно проверить!
S=8. Проверим данную позицию на гарантированность проигрыша Пети!
Ход Пети 8+1=9 и Ваня выигрывает вторым ходом
Ход Пети 8*2=16 и Ваня выигрывает первым ходом
S=4. Проверим данную позицию на гарантированность проигрыша Пети!
Ход Пети 4+1=5 и он бы проиграл, но из этой позиции Пете выгоден ход 4*2=8, тем самым Ваня попадает в «яму» и проигрывает. Но нам нужно найти выигрышную стратегию Вани, поэтому позицию S=4 исключаем из претендентов и получаем окончательную «картину»:
3. В позиции S = 8 – у Вани нет стратегии, которая позволит ему гарантированно выиграть первым ходом, поскольку его победа зависит от хода Пети, поэтому у Вани есть стратегия выиграть либо первым, либо вторым ходом: Если Петя выбирает ход «+1», в куче становится 9 камней и Ваня выигрывает на 2-м ходу (см. ответ на вопрос 2). Если Петя выбирает ход «*2», Ваня выигрывает первым ходом, удвоив число камней в куче.
Полученный нами выше рисунок можно легко перерисовать в дерево игры, предварительно помечая красными линиями проигрышные ходы (толстая линия – «короткий ход» или «+1», а тонкая – «длинный» или «*2») и зелеными – выигрышные. (красные толстые линии можно нарисовать горбами вверх, что будет совпадать с направлением «коротких» веток дерева игры)
Окончательно стратегическая картинка выигрыша Пети может выглядеть так:
ЕГЭ 2019 Физика Информатика Scratch 